Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 44
b = 44
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 602,36111354495
Obvod trojúhelníku: o = 117
Semiperimeter (poloobvod): s = 58,5

Úhel ∠ A = α = 70,75988112369° = 70°45'32″ = 1,23549742309 rad
Úhel ∠ B = β = 70,75988112369° = 70°45'32″ = 1,23549742309 rad
Úhel ∠ C = γ = 38,48223775263° = 38°28'57″ = 0,67216441918 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 27,38800516113
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 27,38800516113
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 41,54221472724

Těžnice: t_a = 30,07549064836
Těžnice: t_b = 30,07549064836
Těžnice: t_c = 41,54221472724

Poloměr vepsané kružnice: r = 10,29767715461
Poloměr opsané kružnice: R = 23,30216361348

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[14,5; 41,54221472724]
Těžiště: T[14,5; 13,84773824241]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; 18,24105111376]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,5; 10,29767715461]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 109,24111887631° = 109°14'28″ = 1,23549742309 rad
∠ B' = β' = 109,24111887631° = 109°14'28″ = 1,23549742309 rad
∠ C' = γ' = 141,51876224738° = 141°31'3″ = 0,67216441918 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 44 b = 44 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 44 + 44 + 29 = 117

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 7}{2} = 58, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 58, 5 (58, 5 - 44) (58, 5 - 44) (58, 5 - 29) S = 362838, 94 = 602, 36

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 0 2 , 3 6}{4 4} = 27, 38 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 0 2 , 3 6}{4 4} = 27, 38 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 0 2 , 3 6}{2 9} = 41, 54

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2 \cdot 4 4 \cdot 2 9}) = 70 ° 4 5^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2 \cdot 4 4 \cdot 2 9}) = 70 ° 4 5^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 70 ° 4 5^{'} 32 " - 70 ° 4 5^{'} 32 " = 38 ° 2 8^{'} 57 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 0 2 , 3 6}{5 8 , 5} = 10, 3

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 4 \cdot 4 4 \cdot 2 9}{4 \cdot 1 0 , 2 9 7 \cdot 5 8 , 5} = 23, 3

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 30, 075 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 30, 075 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 41, 542

Vypočítat další trojúhelník