Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 46
b = 46
c = 48

Obsah trojúhelníku: S = 941,82880097767
Obvod trojúhelníku: o = 140
Semiperimeter (poloobvod): s = 70

Úhel ∠ A = α = 58,55110186106° = 58°33'4″ = 1,02219080552 rad
Úhel ∠ B = β = 58,55110186106° = 58°33'4″ = 1,02219080552 rad
Úhel ∠ C = γ = 62,89879627788° = 62°53'53″ = 1,09877765433 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 40,94990439033
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 40,94990439033
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 39,24328337407

Těžnice: t_a = 41
Těžnice: t_b = 41
Těžnice: t_c = 39,24328337407

Poloměr vepsané kružnice: r = 13,4554685854
Poloměr opsané kružnice: R = 26,96603364271

Souřadnice vrcholů: A[48; 0] B[0; 0] C[24; 39,24328337407]
Těžiště: T[24; 13,08109445802]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[24; 12,28224973136]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[24; 13,4554685854]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,44989813894° = 121°26'56″ = 1,02219080552 rad
∠ B' = β' = 121,44989813894° = 121°26'56″ = 1,02219080552 rad
∠ C' = γ' = 117,10220372212° = 117°6'7″ = 1,09877765433 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 46 b = 46 c = 48

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 46 + 46 + 48 = 140

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 0}{2} = 70

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 70 (70 - 46) (70 - 46) (70 - 48) S = 887040 = 941, 83

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 4 1 , 8 3}{4 6} = 40, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 4 1 , 8 3}{4 6} = 40, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 4 1 , 8 3}{4 8} = 39, 24

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 6 ^{2} + 4 8 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2 \cdot 4 6 \cdot 4 8}) = 58 ° 3 3^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 6 ^{2} + 4 8 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2 \cdot 4 6 \cdot 4 8}) = 58 ° 3 3^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 3 3^{'} 4 " - 58 ° 3 3^{'} 4 " = 62 ° 5 3^{'} 53 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 4 1 , 8 3}{7 0} = 13, 45

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 6 \cdot 4 6 \cdot 4 8}{4 \cdot 1 3 , 4 5 5 \cdot 7 0} = 26, 96

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 6 ^{2} + 2 \cdot 4 8 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2} = 41 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 8 ^{2} + 2 \cdot 4 6 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2} = 41 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 6 ^{2} + 2 \cdot 4 6 ^{2} - 4 8 ^{2}}{2} = 39, 243

Vypočítat další trojúhelník