Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 6,24
c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 15.65999922
Obvod trojúhelníku: o = 19,24
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,62

Úhel ∠ A = α = 38,68221645168° = 38°40'56″ = 0,67551311326 rad
Úhel ∠ B = β = 51,26105396941° = 51°15'38″ = 0,8954665194 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,05772957891° = 90°3'26″ = 1,5721796327 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,243999688
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 54,9999975
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3.989999805

Těžnice: t_a = 6,72444925459
Těžnice: t_b = 5,89662360875
Těžnice: t_c = 3,99660980969

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,62216208108
Poloměr opsané kružnice: R = 44,000002

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[3,12989; 3.989999805]
Těžiště: T[3,71096333333; 1.329999935]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; -0,0044000002]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,38; 1,62216208108]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,31878354832° = 141°19'4″ = 0,67551311326 rad
∠ B' = β' = 128,73994603059° = 128°44'22″ = 0,8954665194 rad
∠ C' = γ' = 89,94327042109° = 89°56'34″ = 1,5721796327 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 6, 24 c = 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 6, 24 + 8 = 19, 24

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 , 2 4}{2} = 9, 62

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 62 (9, 62 - 5) (9, 62 - 6, 24) (9, 62 - 8) S = 243, 36 = 15, 6

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6}{5} = 6, 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6}{6 , 2 4} = 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6}{8} = 3, 9

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 , 2 4 ^{2} + 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 6 , 2 4 \cdot 8}) = 38 ° 4 0^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 6 , 2 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8}) = 51 ° 1 5^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 4 0^{'} 56 " - 51 ° 1 5^{'} 38 " = 90 ° 3^{'} 26 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 , 6}{9 , 6 2} = 1, 62

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 6 , 2 4 \cdot 8}{4 \cdot 1 , 6 2 2 \cdot 9 , 6 2} = 4

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 2 4 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 6, 724 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 6 , 2 4 ^{2}}{2} = 5, 896 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 6 , 2 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 3, 996

Vypočítat další trojúhelník