Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5,2
b = 3,6
c = 2,1

Obsah trojúhelníku: S = 2,90658722873
Obvod trojúhelníku: o = 10,9
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,45

Úhel ∠ A = α = 129,75882920298° = 129°45'30″ = 2,26547094277 rad
Úhel ∠ B = β = 32,15549680836° = 32°9'18″ = 0,56112100639 rad
Úhel ∠ C = γ = 18,08767398866° = 18°5'12″ = 0,3165673162 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 1,11876431874
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,61443734929
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,76774974165

Těžnice: t_a = 1,38774436926
Těžnice: t_b = 3,53334119488
Těžnice: t_c = 4,3477125487

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,53331875756
Poloměr opsané kružnice: R = 3,38221169784

Souřadnice vrcholů: A[2,1; 0] B[0; 0] C[4,40223809524; 2,76774974165]
Těžiště: T[2,16774603175; 0,92224991388]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,05; 3,21549984846]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,85; 0,53331875756]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 50,24217079702° = 50°14'30″ = 2,26547094277 rad
∠ B' = β' = 147,84550319164° = 147°50'42″ = 0,56112100639 rad
∠ C' = γ' = 161,91332601134° = 161°54'48″ = 0,3165673162 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5, 2 b = 3, 6 c = 2, 1

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5, 2 + 3, 6 + 2, 1 = 10, 9

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 0 , 9}{2} = 5, 45

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 45 (5, 45 - 5, 2) (5, 45 - 3, 6) (5, 45 - 2, 1) S = 8, 44 = 2, 91

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{5 , 2} = 1, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{3 , 6} = 1, 61 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 9 1}{2 , 1} = 2, 77

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 , 6 ^{2} + 2 , 1 ^{2} - 5 , 2 ^{2}}{2 \cdot 3 , 6 \cdot 2 , 1}) = 129 ° 4 5^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 2 ^{2} + 2 , 1 ^{2} - 3 , 6 ^{2}}{2 \cdot 5 , 2 \cdot 2 , 1}) = 32 ° 9^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 129 ° 4 5^{'} 30 " - 32 ° 9^{'} 18 " = 18 ° 5^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 9 1}{5 , 4 5} = 0, 53

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 2 \cdot 3 , 6 \cdot 2 , 1}{4 \cdot 0 , 5 3 3 \cdot 5 , 4 5} = 3, 38

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 6 ^{2} + 2 \cdot 2 , 1 ^{2} - 5 , 2 ^{2}}{2} = 1, 387 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 1 ^{2} + 2 \cdot 5 , 2 ^{2} - 3 , 6 ^{2}}{2} = 3, 533 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 2 ^{2} + 2 \cdot 3 , 6 ^{2} - 2 , 1 ^{2}}{2} = 4, 347

Vypočítat další trojúhelník