Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5,55
b = 8,32
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 23,08879991608
Obvod trojúhelníku: o = 23,87
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,935

Úhel ∠ A = α = 33,7110713392° = 33°42'39″ = 0,58883629419 rad
Úhel ∠ B = β = 56,30547347296° = 56°18'17″ = 0,98327030055 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,98545518784° = 89°59'4″ = 1,57105267062 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,32199996976
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,55499997983
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,61875998322

Těžnice: t_a = 8,77698674448
Těžnice: t_b = 6,9355102739
Těžnice: t_c = 5,0011244845

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,93444783545
Poloměr opsané kružnice: R = 55,0000001817

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[3,0799005; 4,61875998322]
Těžiště: T[4,36596683333; 1,53991999441]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,0011348103]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,615; 1,93444783545]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,2899286608° = 146°17'21″ = 0,58883629419 rad
∠ B' = β' = 123,69552652704° = 123°41'43″ = 0,98327030055 rad
∠ C' = γ' = 90,01554481216° = 90°56″ = 1,57105267062 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5, 55 b = 8, 32 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5, 55 + 8, 32 + 10 = 23, 87

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3 , 8 7}{2} = 11, 94

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 94 (11, 94 - 5, 55) (11, 94 - 8, 32) (11, 94 - 10) S = 533, 06 = 23, 09

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 , 0 9}{5 , 5 5} = 8, 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 , 0 9}{8 , 3 2} = 5, 55 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 , 0 9}{1 0} = 4, 62

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 , 3 2 ^{2} + 1 0 ^{2} - 5 , 5 5 ^{2}}{2 \cdot 8 , 3 2 \cdot 1 0}) = 33 ° 4 2^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 5 5 ^{2} + 1 0 ^{2} - 8 , 3 2 ^{2}}{2 \cdot 5 , 5 5 \cdot 1 0}) = 56 ° 1 8^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 4 2^{'} 39 " - 56 ° 1 8^{'} 17 " = 89 ° 5 9^{'} 4 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 , 0 9}{1 1 , 9 4} = 1, 93

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 5 5 \cdot 8 , 3 2 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 9 3 4 \cdot 1 1 , 9 3 5} = 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 3 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 5 , 5 5 ^{2}}{2} = 8, 77 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 5 , 5 5 ^{2} - 8 , 3 2 ^{2}}{2} = 6, 935 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 5 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 3 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 5, 001

Vypočítat další trojúhelník