Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 50
b = 50
c = 70,71
Obsah trojúhelníku: S = 12509,9999997701
Obvod trojúhelníku: o = 170,71
Semiperimeter (poloobvod): s = 85,355
Úhel ∠ A = α = 45,00105494665° = 45°2″ = 0,78554077534 rad
Úhel ∠ B = β = 45,00105494665° = 45°2″ = 0,78554077534 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,99989010669° = 89°59'56″ = 1,57107771468 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 509,9999999908
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 509,9999999908
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 35,35656781154
Těžnice: ta = 55,9011270558
Těžnice: tb = 55,9011270558
Těžnice: tc = 35,35656781154
Poloměr vepsané kružnice: r = 14,64547191116
Poloměr opsané kružnice: R = 35,35550000065
Souřadnice vrcholů: A[70,71; 0] B[0; 0] C[35,355; 35,35656781154]
Těžiště: T[35,355; 11,78552260385]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[35,355; 0,00106781089]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[35,355; 14,64547191116]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,99994505335° = 134°59'58″ = 0,78554077534 rad
∠ B' = β' = 134,99994505335° = 134°59'58″ = 0,78554077534 rad
∠ C' = γ' = 90,00110989331° = 90°4″ = 1,57107771468 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=50 b=50 c=70,71
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=50+50+70,71=170,71
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2170,71=85,36
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=85,36(85,36−50)(85,36−50)(85,36−70,71) S=1562500=1250
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=502⋅ 1250=50 vb=b2 S=502⋅ 1250=50 vc=c2 S=70,712⋅ 1250=35,36
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 50⋅ 70,71502+70,712−502)=45°2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 50⋅ 70,71502+70,712−502)=45°2" γ=180°−α−β=180°−45°2"−45°2"=89°59′56"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=85,361250=14,64
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 14,645⋅ 85,35550⋅ 50⋅ 70,71=35,36
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 502+2⋅ 70,712−502=55,901 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 70,712+2⋅ 502−502=55,901 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 502+2⋅ 502−70,712=35,356
Vypočítat další trojúhelník