Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 50
b = 60
c = 80

Obsah trojúhelníku: S = 1498,12438266579
Obvod trojúhelníku: o = 190
Semiperimeter (poloobvod): s = 95

Úhel ∠ A = α = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 0,67441305067 rad
Úhel ∠ B = β = 48,50991831443° = 48°30'33″ = 0,84766449633 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,62108171836 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 59,92549530663
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 49,93774608886
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 37,45330956664

Těžnice: t_a = 66,14437827766
Těžnice: t_b = 59,58218764391
Těžnice: t_c = 38,07988655293

Poloměr vepsané kružnice: r = 15,77697244911
Poloměr opsané kružnice: R = 40,05500939457

Souřadnice vrcholů: A[80; 0] B[0; 0] C[33,125; 37,45330956664]
Těžiště: T[37,70883333333; 12,48443652221]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[40; -2,00325046973]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[35; 15,77697244911]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 0,67441305067 rad
∠ B' = β' = 131,49108168557° = 131°29'27″ = 0,84766449633 rad
∠ C' = γ' = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,62108171836 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 50 b = 60 c = 80

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 50 + 60 + 80 = 190

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 0}{2} = 95

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 95 (95 - 50) (95 - 60) (95 - 80) S = 2244375 = 1498, 12

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 9 8 , 1 2}{5 0} = 59, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 9 8 , 1 2}{6 0} = 49, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 9 8 , 1 2}{8 0} = 37, 45

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2 \cdot 6 0 \cdot 8 0}) = 38 ° 3 7^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2 \cdot 5 0 \cdot 8 0}) = 48 ° 3 0^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 3 7^{'} 29 " - 48 ° 3 0^{'} 33 " = 92 ° 5 1^{'} 58 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 9 8 , 1 2}{9 5} = 15, 77

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 0 \cdot 6 0 \cdot 8 0}{4 \cdot 1 5 , 7 7 \cdot 9 5} = 40, 05

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 0 ^{2} + 2 \cdot 8 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2} = 66, 144 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 0 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2} = 59, 582 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 ^{2} + 2 \cdot 6 0 ^{2} - 8 0 ^{2}}{2} = 38, 079

Vypočítat další trojúhelník