Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 50,3
b = 50,3
c = 48,2

Obsah trojúhelníku: S = 1064,03106935423
Obvod trojúhelníku: o = 148,8
Semiperimeter (poloobvod): s = 74,4

Úhel ∠ A = α = 61,37217138094° = 61°22'18″ = 1,07111384736 rad
Úhel ∠ B = β = 61,37217138094° = 61°22'18″ = 1,07111384736 rad
Úhel ∠ C = γ = 57,25765723813° = 57°15'24″ = 0,99993157065 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 42,3077383441
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 42,3077383441
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 44,15106511843

Těžnice: t_a = 42,35773193203
Těžnice: t_b = 42,35773193203
Těžnice: t_c = 44,15106511843

Poloměr vepsané kružnice: r = 14,30114878164
Poloměr opsané kružnice: R = 28,65329182711

Souřadnice vrcholů: A[48,2; 0] B[0; 0] C[24,1; 44,15106511843]
Těžiště: T[24,1; 14,71768837281]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[24,1; 15,49877329132]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[24,1; 14,30114878164]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 118,62882861906° = 118°37'42″ = 1,07111384736 rad
∠ B' = β' = 118,62882861906° = 118°37'42″ = 1,07111384736 rad
∠ C' = γ' = 122,74334276188° = 122°44'36″ = 0,99993157065 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 50, 3 b = 50, 3 c = 48, 2

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 50, 3 + 50, 3 + 48, 2 = 148, 8

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 8 , 8}{2} = 74, 4

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 74, 4 (74, 4 - 50, 3) (74, 4 - 50, 3) (74, 4 - 48, 2) S = 1132161, 32 = 1064, 03

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 6 4 , 0 3}{5 0 , 3} = 42, 31 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 6 4 , 0 3}{5 0 , 3} = 42, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 6 4 , 0 3}{4 8 , 2} = 44, 15

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 0 , 3 ^{2} + 4 8 , 2 ^{2} - 5 0 , 3 ^{2}}{2 \cdot 5 0 , 3 \cdot 4 8 , 2}) = 61 ° 2 2^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 0 , 3 ^{2} + 4 8 , 2 ^{2} - 5 0 , 3 ^{2}}{2 \cdot 5 0 , 3 \cdot 4 8 , 2}) = 61 ° 2 2^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 61 ° 2 2^{'} 18 " - 61 ° 2 2^{'} 18 " = 57 ° 1 5^{'} 24 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 6 4 , 0 3}{7 4 , 4} = 14, 3

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 0 , 3 \cdot 5 0 , 3 \cdot 4 8 , 2}{4 \cdot 1 4 , 3 0 1 \cdot 7 4 , 4} = 28, 65

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 , 3 ^{2} + 2 \cdot 4 8 , 2 ^{2} - 5 0 , 3 ^{2}}{2} = 42, 357 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 8 , 2 ^{2} + 2 \cdot 5 0 , 3 ^{2} - 5 0 , 3 ^{2}}{2} = 42, 357 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 , 3 ^{2} + 2 \cdot 5 0 , 3 ^{2} - 4 8 , 2 ^{2}}{2} = 44, 151

Vypočítat další trojúhelník