Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 52
b = 52
c = 40
Obsah trojúhelníku: S = 960
Obvod trojúhelníku: o = 144
Semiperimeter (poloobvod): s = 72
Úhel ∠ A = α = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Úhel ∠ B = β = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Úhel ∠ C = γ = 45,24397298961° = 45°14'23″ = 0,79895822394 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 36,92330769231
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 36,92330769231
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 48
Těžnice: ta = 38,41987454246
Těžnice: tb = 38,41987454246
Těžnice: tc = 48
Poloměr vepsané kružnice: r = 13,33333333333
Poloměr opsané kružnice: R = 28,16766666667
Souřadnice vrcholů: A[40; 0] B[0; 0] C[20; 48]
Těžiště: T[20; 16]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[20; 19,83333333333]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[20; 13,33333333333]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ B' = β' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ C' = γ' = 134,76602701039° = 134°45'37″ = 0,79895822394 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=52 b=52 c=40
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=52+52+40=144
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2144=72
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=72(72−52)(72−52)(72−40) S=921600=960
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=522⋅ 960=36,92 vb=b2 S=522⋅ 960=36,92 vc=c2 S=402⋅ 960=48
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 52⋅ 40522+402−522)=67°22′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 52⋅ 40522+402−522)=67°22′49" γ=180°−α−β=180°−67°22′49"−67°22′49"=45°14′23"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=72960=13,33
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 13,333⋅ 7252⋅ 52⋅ 40=28,17
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 522+2⋅ 402−522=38,419 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 402+2⋅ 522−522=38,419 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 522+2⋅ 522−402=48
Vypočítat další trojúhelník