Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 55
b = 36
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 445,19987617907
Obvod trojúhelníku: o = 119
Semiperimeter (poloobvod): s = 59,5

Úhel ∠ A = α = 117,95331868834° = 117°57'11″ = 2,05986714743 rad
Úhel ∠ B = β = 35,32326498434° = 35°19'22″ = 0,61664965403 rad
Úhel ∠ C = γ = 26,72441632732° = 26°43'27″ = 0,4666424639 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,18990458833
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 24,73332645439
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 31.87999115565

Těžnice: t_a = 16,84548805279
Těžnice: t_b = 39,75655027638
Těžnice: t_c = 44,32326804244

Poloměr vepsané kružnice: r = 7,48223321309
Poloměr opsané kružnice: R = 31,13221620578

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[44,875; 31.87999115565]
Těžiště: T[24,29216666667; 10.65999705188]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 27,80766811107]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[23,5; 7,48223321309]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 62,04768131166° = 62°2'49″ = 2,05986714743 rad
∠ B' = β' = 144,67773501566° = 144°40'38″ = 0,61664965403 rad
∠ C' = γ' = 153,27658367268° = 153°16'33″ = 0,4666424639 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 55 b = 36 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 55 + 36 + 28 = 119

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 9}{2} = 59, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 59, 5 (59, 5 - 55) (59, 5 - 36) (59, 5 - 28) S = 198201, 94 = 445, 2

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 5 , 2}{5 5} = 16, 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 5 , 2}{3 6} = 24, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 5 , 2}{2 8} = 31, 8

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 6 ^{2} + 2 8 ^{2} - 5 5 ^{2}}{2 \cdot 3 6 \cdot 2 8}) = 117 ° 5 7^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 5 ^{2} + 2 8 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2 \cdot 5 5 \cdot 2 8}) = 35 ° 1 9^{'} 22 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 117 ° 5 7^{'} 11 " - 35 ° 1 9^{'} 22 " = 26 ° 4 3^{'} 27 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 5 , 2}{5 9 , 5} = 7, 48

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 5 \cdot 3 6 \cdot 2 8}{4 \cdot 7 , 4 8 2 \cdot 5 9 , 5} = 31, 13

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 5 5 ^{2}}{2} = 16, 845 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 5 5 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2} = 39, 756 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 5 ^{2} + 2 \cdot 3 6 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 44, 323

Vypočítat další trojúhelník