Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 55
b = 55
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 793,72553933194
Obvod trojúhelníku: o = 140
Semiperimeter (poloobvod): s = 70

Úhel ∠ A = α = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,2954569696 rad
Úhel ∠ B = β = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,2954569696 rad
Úhel ∠ C = γ = 31,65332402637° = 31°39'12″ = 0,55224532615 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 28,86327415753
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 28,86327415753
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 52,91550262213

Těžnice: t_a = 34,73111099736
Těžnice: t_b = 34,73111099736
Těžnice: t_c = 52,91550262213

Poloměr vepsané kružnice: r = 11,33989341903
Poloměr opsané kružnice: R = 28,58435632713

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[15; 52,91550262213]
Těžiště: T[15; 17,63883420738]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 24,331146295]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[15; 11,33989341903]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,2954569696 rad
∠ B' = β' = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,2954569696 rad
∠ C' = γ' = 148,34767597363° = 148°20'48″ = 0,55224532615 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 55 b = 55 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 55 + 55 + 30 = 140

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 0}{2} = 70

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 70 (70 - 55) (70 - 55) (70 - 30) S = 630000 = 793, 73

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 9 3 , 7 3}{5 5} = 28, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 9 3 , 7 3}{5 5} = 28, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 9 3 , 7 3}{3 0} = 52, 92

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 5 5 ^{2}}{2 \cdot 5 5 \cdot 3 0}) = 74 ° 1 0^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 5 5 ^{2}}{2 \cdot 5 5 \cdot 3 0}) = 74 ° 1 0^{'} 24 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 74 ° 1 0^{'} 24 " - 74 ° 1 0^{'} 24 " = 31 ° 3 9^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 9 3 , 7 3}{7 0} = 11, 34

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 5 \cdot 5 5 \cdot 3 0}{4 \cdot 1 1 , 3 3 9 \cdot 7 0} = 28, 58

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 5 5 ^{2}}{2} = 34, 731 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 5 5 ^{2} - 5 5 ^{2}}{2} = 34, 731 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 5 ^{2} + 2 \cdot 5 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 52, 915

Vypočítat další trojúhelník