Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6
b = 5
c = 9,85

Obsah trojúhelníku: S = 11,99657791893
Obvod trojúhelníku: o = 20,85
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,425

Úhel ∠ A = α = 29,15326593861° = 29°9'10″ = 0,5098809892 rad
Úhel ∠ B = β = 23,95105808477° = 23°57'2″ = 0,41880164936 rad
Úhel ∠ C = γ = 126,89767597662° = 126°53'48″ = 2,2154766268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 3,99985930631
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,79883116757
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,4365691206

Těžnice: t_a = 7,21218825559
Těžnice: t_b = 7,76328119905
Těžnice: t_c = 2,49988747468

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,15106742628
Poloměr opsané kružnice: R = 6,15884161257

Souřadnice vrcholů: A[9,85; 0] B[0; 0] C[5,48333756345; 2,4365691206]
Těžiště: T[5,11111252115; 0,81218970687]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,925; -3,69773590815]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,425; 1,15106742628]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,84773406139° = 150°50'50″ = 0,5098809892 rad
∠ B' = β' = 156,04994191523° = 156°2'58″ = 0,41880164936 rad
∠ C' = γ' = 53,10332402338° = 53°6'12″ = 2,2154766268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 5 c = 9, 85

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 5 + 9, 85 = 20, 85

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 0 , 8 5}{2} = 10, 43

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2}{6} = 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2}{5} = 4, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2}{9 , 8 5} = 2, 44

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 9 , 8 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 9 , 8 5}) = 29 ° 9^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 9 , 8 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 9 , 8 5}) = 23 ° 5 7^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 9^{'} 10 " - 23 ° 5 7^{'} 2 " = 126 ° 5 3^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2}{1 0 , 4 3} = 1, 15

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 9 , 8 5}{4 \cdot 1 , 1 5 1 \cdot 1 0 , 4 2 5} = 6, 16

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 , 8 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 7, 212 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 8 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 7, 763 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 , 8 5 ^{2}}{2} = 2, 499

Vypočítat další trojúhelník