Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 6,55
b = 6,55
c = 7,7

Obsah trojúhelníku: S = 20,40113676012
Obvod trojúhelníku: o = 20,8
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,4

Úhel ∠ A = α = 543,9999286651° = 54° = 0,9422476551 rad
Úhel ∠ B = β = 543,9999286651° = 54° = 0,9422476551 rad
Úhel ∠ C = γ = 722,0001426699° = 72°1″ = 1,25766395515 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,22994252217
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,22994252217
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,29990565198

Těžnice: t_a = 6,35437882401
Těžnice: t_b = 6,35437882401
Těžnice: t_c = 5,29990565198

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,96216699617
Poloměr opsané kružnice: R = 4,04881262881

Souřadnice vrcholů: A[7,7; 0] B[0; 0] C[3,85; 5,29990565198]
Těžiště: T[3,85; 1,76663521733]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,85; 1,25109302317]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,85; 1,96216699617]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 1266,0000713349° = 126° = 0,9422476551 rad
∠ B' = β' = 1266,0000713349° = 126° = 0,9422476551 rad
∠ C' = γ' = 1087,9998573301° = 107°59'59″ = 1,25766395515 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6, 55 b = 6, 55 c = 7, 7

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6, 55 + 6, 55 + 7, 7 = 20, 8

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 0 , 8}{2} = 10, 4

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 4 (10, 4 - 6, 55) (10, 4 - 6, 55) (10, 4 - 7, 7) S = 416, 22 = 20, 4

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{6 , 5 5} = 6, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{6 , 5 5} = 6, 23 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{7 , 7} = 5, 3

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 4}{1 0 , 4} = 1, 96

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 , 5 5 \cdot 6 , 5 5 \cdot 7 , 7}{4 \cdot 1 , 9 6 2 \cdot 1 0 , 4} = 4, 05

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 5 ^{2} + 2 \cdot 7 , 7 ^{2} - 6 , 5 5 ^{2}}{2} = 6, 354 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 7 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 5 ^{2} - 6 , 5 5 ^{2}}{2} = 6, 354 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 5 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 5 ^{2} - 7 , 7 ^{2}}{2} = 5, 299

Vypočítat další trojúhelník