Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 62,45
b = 62,45
c = 47,8

Obsah trojúhelníku: S = 1378,92769610552
Obvod trojúhelníku: o = 172,7
Semiperimeter (poloobvod): s = 86,35

Úhel ∠ A = α = 67,49985901985° = 67°29'55″ = 1,17880726394 rad
Úhel ∠ B = β = 67,49985901985° = 67°29'55″ = 1,17880726394 rad
Úhel ∠ C = γ = 45,00328196031° = 45°10″ = 0,78554473748 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 44,1610991547
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 44,1610991547
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 57,69656887471

Těžnice: t_a = 46,01554389852
Těžnice: t_b = 46,01554389852
Těžnice: t_c = 57,69656887471

Poloměr vepsané kružnice: r = 15,9699044135
Poloměr opsané kružnice: R = 33,79880409342

Souřadnice vrcholů: A[47,8; 0] B[0; 0] C[23,9; 57,69656887471]
Těžiště: T[23,9; 19,2321896249]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[23,9; 23,89876478129]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[23,9; 15,9699044135]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 112,50114098015° = 112°30'5″ = 1,17880726394 rad
∠ B' = β' = 112,50114098015° = 112°30'5″ = 1,17880726394 rad
∠ C' = γ' = 134,9977180397° = 134°59'50″ = 0,78554473748 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 62, 45 b = 62, 45 c = 47, 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 62, 45 + 62, 45 + 47, 8 = 172, 7

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7 2 , 7}{2} = 86, 35

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 86, 35 (86, 35 - 62, 45) (86, 35 - 62, 45) (86, 35 - 47, 8) S = 1901439, 56 = 1378, 93

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 7 8 , 9 3}{6 2 , 4 5} = 44, 16 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 7 8 , 9 3}{6 2 , 4 5} = 44, 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 7 8 , 9 3}{4 7 , 8} = 57, 7

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 2 , 4 5 ^{2} + 4 7 , 8 ^{2} - 6 2 , 4 5 ^{2}}{2 \cdot 6 2 , 4 5 \cdot 4 7 , 8}) = 67 ° 2 9^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 2 , 4 5 ^{2} + 4 7 , 8 ^{2} - 6 2 , 4 5 ^{2}}{2 \cdot 6 2 , 4 5 \cdot 4 7 , 8}) = 67 ° 2 9^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 67 ° 2 9^{'} 55 " - 67 ° 2 9^{'} 55 " = 45 ° 10 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 7 8 , 9 3}{8 6 , 3 5} = 15, 97

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 2 , 4 5 \cdot 6 2 , 4 5 \cdot 4 7 , 8}{4 \cdot 1 5 , 9 6 9 \cdot 8 6 , 3 5} = 33, 8

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 2 , 4 5 ^{2} + 2 \cdot 4 7 , 8 ^{2} - 6 2 , 4 5 ^{2}}{2} = 46, 015 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 7 , 8 ^{2} + 2 \cdot 6 2 , 4 5 ^{2} - 6 2 , 4 5 ^{2}}{2} = 46, 015 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 2 , 4 5 ^{2} + 2 \cdot 6 2 , 4 5 ^{2} - 4 7 , 8 ^{2}}{2} = 57, 696

Vypočítat další trojúhelník