Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 63
b = 54
c = 36

Obsah trojúhelníku: S = 970.10997049273
Obvod trojúhelníku: o = 153
Semiperimeter (poloobvod): s = 76,5

Úhel ∠ A = α = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad
Úhel ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Úhel ∠ C = γ = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 30,79768160294
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 35,9329618701
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 53,89444280515

Těžnice: t_a = 33,37328931919
Těžnice: t_b = 43,62991187167
Těžnice: t_c = 55,8443531407

Poloměr vepsané kružnice: r = 12,68110418945
Poloměr opsané kružnice: R = 31,56217042707

Souřadnice vrcholů: A[36; 0] B[0; 0] C[32,625; 53,89444280515]
Těžiště: T[22,875; 17,96548093505]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[18; 25,92656856509]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[22,5; 12,68110418945]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 63 b = 54 c = 36

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 63 + 54 + 36 = 153

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 5 3}{2} = 76, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 76, 5 (76, 5 - 63) (76, 5 - 54) (76, 5 - 36) S = 941093, 44 = 970, 1

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 7 0 , 1}{6 3} = 30, 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 7 0 , 1}{5 4} = 35, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 7 0 , 1}{3 6} = 53, 89

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 4 ^{2} + 3 6 ^{2} - 6 3 ^{2}}{2 \cdot 5 4 \cdot 3 6}) = 86 ° 2 5^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 3 ^{2} + 3 6 ^{2} - 5 4 ^{2}}{2 \cdot 6 3 \cdot 3 6}) = 58 ° 4 8^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 86 ° 2 5^{'} - 58 ° 4 8^{'} 41 " = 34 ° 4 6^{'} 19 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 7 0 , 1}{7 6 , 5} = 12, 68

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 3 \cdot 5 4 \cdot 3 6}{4 \cdot 1 2 , 6 8 1 \cdot 7 6 , 5} = 31, 56

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 4 ^{2} + 2 \cdot 3 6 ^{2} - 6 3 ^{2}}{2} = 33, 373 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 ^{2} + 2 \cdot 6 3 ^{2} - 5 4 ^{2}}{2} = 43, 629 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 3 ^{2} + 2 \cdot 5 4 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2} = 55, 844

Vypočítat další trojúhelník