Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 65
b = 46
c = 34,39

Obsah trojúhelníku: S = 756,309901737
Obvod trojúhelníku: o = 145,39
Semiperimeter (poloobvod): s = 72,695

Úhel ∠ A = α = 107,02545988146° = 107°1'29″ = 1,86879316299 rad
Úhel ∠ B = β = 42,58547967477° = 42°35'5″ = 0,74332449145 rad
Úhel ∠ C = γ = 30,39106044378° = 30°23'26″ = 0,53304161091 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 23,27110466883
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 32,88330007552
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 43,98442406147

Těžnice: t_a = 24,35333580847
Těžnice: t_b = 46,63551375038
Těžnice: t_c = 53,61774596097

Poloměr vepsané kružnice: r = 10,40438657042
Poloměr opsané kružnice: R = 33,98994466542

Souřadnice vrcholů: A[34,39; 0] B[0; 0] C[47,85879834254; 43,98442406147]
Těžiště: T[27,41659944751; 14,66114135382]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[17,195; 29,31991824385]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[26,695; 10,40438657042]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 72,97554011854° = 72°58'31″ = 1,86879316299 rad
∠ B' = β' = 137,41552032523° = 137°24'55″ = 0,74332449145 rad
∠ C' = γ' = 149,60993955622° = 149°36'34″ = 0,53304161091 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 65 b = 46 c = 34, 39

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 65 + 46 + 34, 39 = 145, 39

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 5 , 3 9}{2} = 72, 7

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 72, 7 (72, 7 - 65) (72, 7 - 46) (72, 7 - 34, 39) S = 572003, 33 = 756, 31

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5 6 , 3 1}{6 5} = 23, 27 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5 6 , 3 1}{4 6} = 32, 88 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5 6 , 3 1}{3 4 , 3 9} = 43, 98

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 6 ^{2} + 3 4 , 3 9 ^{2} - 6 5 ^{2}}{2 \cdot 4 6 \cdot 3 4 , 3 9}) = 107 ° 1^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 5 ^{2} + 3 4 , 3 9 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2 \cdot 6 5 \cdot 3 4 , 3 9}) = 42 ° 3 5^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 107 ° 1^{'} 29 " - 42 ° 3 5^{'} 5 " = 30 ° 2 3^{'} 26 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5 6 , 3 1}{7 2 , 7} = 10, 4

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 5 \cdot 4 6 \cdot 3 4 , 3 9}{4 \cdot 1 0 , 4 0 4 \cdot 7 2 , 6 9 5} = 33, 99

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 6 ^{2} + 2 \cdot 3 4 , 3 9 ^{2} - 6 5 ^{2}}{2} = 24, 353 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 4 , 3 9 ^{2} + 2 \cdot 6 5 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2} = 46, 635 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 5 ^{2} + 2 \cdot 4 6 ^{2} - 3 4 , 3 9 ^{2}}{2} = 53, 617

Vypočítat další trojúhelník