Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 65
b = 46
c = 61,33

Obsah trojúhelníku: S = 1348,74771822935
Obvod trojúhelníku: o = 172,33
Semiperimeter (poloobvod): s = 86,165

Úhel ∠ A = α = 72,97113012756° = 72°58'17″ = 1,27435894667 rad
Úhel ∠ B = β = 42,58436428449° = 42°35'1″ = 0,74332247751 rad
Úhel ∠ C = γ = 64,44550558795° = 64°26'42″ = 1,12547784117 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 41.54999133013
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 58,64111818388
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 43,98332767746

Těžnice: t_a = 43,38770308963
Těžnice: t_b = 58,85773228239
Těžnice: t_c = 47,22545463186

Poloměr vepsané kružnice: r = 15,65330747089
Poloměr opsané kružnice: R = 33,99901914917

Souřadnice vrcholů: A[61,33; 0] B[0; 0] C[47,8598869232; 43,98332767746]
Těžiště: T[36,3966289744; 14,66110922582]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[30,665; 14,66325677369]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[40,165; 15,65330747089]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 107,02986987244° = 107°1'43″ = 1,27435894667 rad
∠ B' = β' = 137,41663571551° = 137°24'59″ = 0,74332247751 rad
∠ C' = γ' = 115,55549441205° = 115°33'18″ = 1,12547784117 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 65 b = 46 c = 61, 33

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 65 + 46 + 61, 33 = 172, 33

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7 2 , 3 3}{2} = 86, 17

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 86, 17 (86, 17 - 65) (86, 17 - 46) (86, 17 - 61, 33) S = 1819118, 96 = 1348, 75

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 4 8 , 7 5}{6 5} = 41, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 4 8 , 7 5}{4 6} = 58, 64 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 4 8 , 7 5}{6 1 , 3 3} = 43, 98

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 6 ^{2} + 6 1 , 3 3 ^{2} - 6 5 ^{2}}{2 \cdot 4 6 \cdot 6 1 , 3 3}) = 72 ° 5 8^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 5 ^{2} + 6 1 , 3 3 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2 \cdot 6 5 \cdot 6 1 , 3 3}) = 42 ° 3 5^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 72 ° 5 8^{'} 17 " - 42 ° 3 5^{'} 1 " = 64 ° 2 6^{'} 42 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 4 8 , 7 5}{8 6 , 1 7} = 15, 65

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 5 \cdot 4 6 \cdot 6 1 , 3 3}{4 \cdot 1 5 , 6 5 3 \cdot 8 6 , 1 6 5} = 33, 99

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 6 ^{2} + 2 \cdot 6 1 , 3 3 ^{2} - 6 5 ^{2}}{2} = 43, 387 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 1 , 3 3 ^{2} + 2 \cdot 6 5 ^{2} - 4 6 ^{2}}{2} = 58, 857 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 5 ^{2} + 2 \cdot 4 6 ^{2} - 6 1 , 3 3 ^{2}}{2} = 47, 225

Vypočítat další trojúhelník