Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 4,61
c = 6,36
Obsah trojúhelníku: S = 14,31217578274
Obvod trojúhelníku: o = 17,97
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,985
Úhel ∠ A = α = 77,49901376067° = 77°29'25″ = 1,35224580391 rad
Úhel ∠ B = β = 40,01111079478° = 40°40″ = 0,69883255711 rad
Úhel ∠ C = γ = 62,49987544455° = 62°29'56″ = 1,09108090435 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 4,0899073665
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,2099005565
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,50105527759
Těžnice: ta = 4,3132870274
Těžnice: tb = 6,27878798173
Těžnice: tc = 5,00113648137
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,59328500643
Poloměr opsané kružnice: R = 3,58551151633
Souřadnice vrcholů: A[6,36; 0] B[0; 0] C[5,36114386792; 4,50105527759]
Těžiště: T[3,90771462264; 1.55001842586]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,18; 1,65554910854]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,375; 1,59328500643]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 102,51098623933° = 102°30'35″ = 1,35224580391 rad
∠ B' = β' = 139,98988920522° = 139°59'20″ = 0,69883255711 rad
∠ C' = γ' = 117,50112455545° = 117°30'4″ = 1,09108090435 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=4,61 c=6,36
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+4,61+6,36=17,97
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=217,97=8,99
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,99(8,99−7)(8,99−4,61)(8,99−6,36) S=204,83=14,31
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 14,31=4,09 vb=b2 S=4,612⋅ 14,31=6,21 vc=c2 S=6,362⋅ 14,31=4,5
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4,61⋅ 6,364,612+6,362−72)=77°29′25" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 6,3672+6,362−4,612)=40°40" γ=180°−α−β=180°−77°29′25"−40°40"=62°29′56"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=8,9914,31=1,59
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,593⋅ 8,9857⋅ 4,61⋅ 6,36=3,59
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 4,612+2⋅ 6,362−72=4,313 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 6,362+2⋅ 72−4,612=6,278 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 4,612−6,362=5,001
Vypočítat další trojúhelník