Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 7
c = 9,9

Obsah trojúhelníku: S = 24.54999998724
Obvod trojúhelníku: o = 23,9
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,95

Úhel ∠ A = α = 44,99770767459° = 44°59'49″ = 0,7855347143 rad
Úhel ∠ B = β = 44,99770767459° = 44°59'49″ = 0,7855347143 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,00658465081° = 90°21″ = 1,57108983676 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 76,9999999636
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 76,9999999636
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,94994949237

Těžnice: t_a = 7,8276557353
Těžnice: t_b = 7,8276557353
Těžnice: t_c = 4,94994949237

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,05502091943
Poloměr opsané kružnice: R = 4,95500000258

Souřadnice vrcholů: A[9,9; 0] B[0; 0] C[4,95; 4,94994949237]
Těžiště: T[4,95; 1,65498316412]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,95; -0,0010505102]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,95; 2,05502091943]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,00329232541° = 135°11″ = 0,7855347143 rad
∠ B' = β' = 135,00329232541° = 135°11″ = 0,7855347143 rad
∠ C' = γ' = 89,99441534919° = 89°59'39″ = 1,57108983676 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 7 c = 9, 9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 7 + 9, 9 = 23, 9

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3 , 9}{2} = 11, 95

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 95 (11, 95 - 7) (11, 95 - 7) (11, 95 - 9, 9) S = 600, 25 = 24, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 5}{7} = 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 5}{7} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 5}{9 , 9} = 4, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 9 , 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 9 , 9}) = 44 ° 5 9^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 9 , 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 9 , 9}) = 44 ° 5 9^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 5 9^{'} 49 " - 44 ° 5 9^{'} 49 " = 90 ° 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 5}{1 1 , 9 5} = 2, 05

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 9 , 9}{4 \cdot 2 , 0 5 \cdot 1 1 , 9 5} = 4, 95

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 , 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 7, 827 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 9 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 7, 827 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 , 9 ^{2}}{2} = 4, 949

Vypočítat další trojúhelník