Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 9
c = 11,4

Obsah trojúhelníku: S = 31.54999984127
Obvod trojúhelníku: o = 27,4
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,7

Úhel ∠ A = α = 37,8821839212° = 37°52'55″ = 0,6611162821 rad
Úhel ∠ B = β = 52,13663499247° = 52°8'11″ = 0,91099509662 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,98218108633° = 89°58'55″ = 1,57704788665 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 98,9999995465
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 76,9999996473
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,5266315511

Těžnice: t_a = 9,65655683416
Těžnice: t_b = 8,32204567182
Těžnice: t_c = 5,70217541161

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,29992699571
Poloměr opsané kružnice: R = 5.77000002872

Souřadnice vrcholů: A[11,4; 0] B[0; 0] C[4,29664912281; 5,5266315511]
Těžiště: T[5,23221637427; 1,84221051703]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,7; 0,00218095239]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,7; 2,29992699571]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 142,1188160788° = 142°7'5″ = 0,6611162821 rad
∠ B' = β' = 127,86436500753° = 127°51'49″ = 0,91099509662 rad
∠ C' = γ' = 90,01881891367° = 90°1'5″ = 1,57704788665 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 9 c = 11, 4

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 9 + 11, 4 = 27, 4

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7 , 4}{2} = 13, 7

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 7 (13, 7 - 7) (13, 7 - 9) (13, 7 - 11, 4) S = 992, 25 = 31, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5}{7} = 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5}{9} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 5}{1 1 , 4} = 5, 53

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 1 , 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 1 , 4}) = 37 ° 5 2^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 1 , 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 1 , 4}) = 52 ° 8^{'} 11 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 5 2^{'} 55 " - 52 ° 8^{'} 11 " = 89 ° 5 8^{'} 55 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 5}{1 3 , 7} = 2, 3

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 9 \cdot 1 1 , 4}{4 \cdot 2 , 2 9 9 \cdot 1 3 , 7} = 5, 7

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 9, 656 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 32 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 , 4 ^{2}}{2} = 5, 702

Vypočítat další trojúhelník