Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 9
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 20,69326919467
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Úhel ∠ A = α = 17,85219455267° = 17°51'7″ = 0,31215752273 rad
Úhel ∠ B = β = 23,2132754908° = 23°12'46″ = 0,40551390016 rad
Úhel ∠ C = γ = 138,93552995653° = 138°56'7″ = 2,42548784247 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,91221976991
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,59883759882
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,75990255929

Těžnice: t_a = 11,86438105177
Těžnice: t_b = 10,80550913925
Těžnice: t_c = 2,95880398915

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,33550123837
Poloměr opsané kružnice: R = 11,41770742313

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[6,43333333333; 2,75990255929]
Těžiště: T[7,14444444444; 0,92196751976]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -8,60881115236]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 1,33550123837]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,14880544733° = 162°8'53″ = 0,31215752273 rad
∠ B' = β' = 156,7877245092° = 156°47'14″ = 0,40551390016 rad
∠ C' = γ' = 41,06547004347° = 41°3'53″ = 2,42548784247 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 9 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 9 + 15 = 31

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 7) (15, 5 - 9) (15, 5 - 15) S = 428, 19 = 20, 69

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 9}{7} = 5, 91 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 9}{9} = 4, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 9}{1 5} = 2, 76

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 5}) = 17 ° 5 1^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 5}) = 23 ° 1 2^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 5 1^{'} 7 " - 23 ° 1 2^{'} 46 " = 138 ° 5 6^{'} 7 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 6 9}{1 5 , 5} = 1, 34

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 9 \cdot 1 5}{4 \cdot 1 , 3 3 5 \cdot 1 5 , 5} = 11, 42

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 11, 864 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 10, 805 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 2, 958

Vypočítat další trojúhelník