Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7,2
b = 10,4
c = 12,65

Obsah trojúhelníku: S = 37,44399995774
Obvod trojúhelníku: o = 30,25
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,125

Úhel ∠ A = α = 34,69223643874° = 34°41'32″ = 0,60554959839 rad
Úhel ∠ B = β = 55,29990274727° = 55°17'57″ = 0,96551501025 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,009860814° = 90°31″ = 1,57109465672 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10.43999998826
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7.21999999187
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,91993675221

Těžnice: t_a = 11,00659642921
Těžnice: t_b = 8,8822074645
Těžnice: t_c = 6,32441106094

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,47553718729
Poloměr opsané kružnice: R = 6,32550000714

Souřadnice vrcholů: A[12,65; 0] B[0; 0] C[4,09989130435; 5,91993675221]
Těžiště: T[5,58329710145; 1,97331225074]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,325; -0,00109502704]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,725; 2,47553718729]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,30876356126° = 145°18'28″ = 0,60554959839 rad
∠ B' = β' = 124,70109725274° = 124°42'3″ = 0,96551501025 rad
∠ C' = γ' = 89,991139186° = 89°59'29″ = 1,57109465672 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7, 2 b = 10, 4 c = 12, 65

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7, 2 + 10, 4 + 12, 65 = 30, 25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0 , 2 5}{2} = 15, 13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 13 (15, 13 - 7, 2) (15, 13 - 10, 4) (15, 13 - 12, 65) S = 1401, 75 = 37, 44

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 4}{7 , 2} = 10, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 4}{1 0 , 4} = 7, 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 4}{1 2 , 6 5} = 5, 92

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 , 4 ^{2} + 1 2 , 6 5 ^{2} - 7 , 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 4 \cdot 1 2 , 6 5}) = 34 ° 4 1^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 2 ^{2} + 1 2 , 6 5 ^{2} - 1 0 , 4 ^{2}}{2 \cdot 7 , 2 \cdot 1 2 , 6 5}) = 55 ° 1 7^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 4 1^{'} 32 " - 55 ° 1 7^{'} 57 " = 90 ° 31 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 7 , 4 4}{1 5 , 1 3} = 2, 48

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 2 \cdot 1 0 , 4 \cdot 1 2 , 6 5}{4 \cdot 2 , 4 7 5 \cdot 1 5 , 1 2 5} = 6, 33

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 6 5 ^{2} - 7 , 2 ^{2}}{2} = 11, 006 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 6 5 ^{2} + 2 \cdot 7 , 2 ^{2} - 1 0 , 4 ^{2}}{2} = 8, 882 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 4 ^{2} - 1 2 , 6 5 ^{2}}{2} = 6, 324

Vypočítat další trojúhelník