Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7,5
b = 12,5
c = 17,5

Obsah trojúhelníku: S = 40,59549408024
Obvod trojúhelníku: o = 37,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,75

Úhel ∠ A = α = 21,78767892983° = 21°47'12″ = 0,38802512067 rad
Úhel ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Úhel ∠ C = γ = 120° = 2,09443951024 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,82553175473
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,49551905284
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,6399421806

Těžnice: t_a = 14,73772826532
Těžnice: t_b = 11,92442400177
Těžnice: t_c = 5,44986236794

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,16550635095
Poloměr opsané kružnice: R = 10,10436297108

Souřadnice vrcholů: A[17,5; 0] B[0; 0] C[5,89328571429; 4,6399421806]
Těžiště: T[7,79876190476; 1,54664739353]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,75; -5,05218148554]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,25; 2,16550635095]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,21332107017° = 158°12'48″ = 0,38802512067 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 60° = 2,09443951024 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7, 5 b = 12, 5 c = 17, 5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7, 5 + 12, 5 + 17, 5 = 37, 5

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7 , 5}{2} = 18, 75

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 75 (18, 75 - 7, 5) (18, 75 - 12, 5) (18, 75 - 17, 5) S = 1647, 95 = 40, 59

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 , 5 9}{7 , 5} = 10, 83 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 , 5 9}{1 2 , 5} = 6, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 , 5 9}{1 7 , 5} = 4, 64

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 , 5 ^{2} + 1 7 , 5 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 , 5 \cdot 1 7 , 5}) = 21 ° 4 7^{'} 12 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 5 ^{2} + 1 7 , 5 ^{2} - 1 2 , 5 ^{2}}{2 \cdot 7 , 5 \cdot 1 7 , 5}) = 38 ° 1 2^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 4 7^{'} 12 " - 38 ° 1 2^{'} 48 " = 120 °

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 , 5 9}{1 8 , 7 5} = 2, 17

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 5 \cdot 1 2 , 5 \cdot 1 7 , 5}{4 \cdot 2 , 1 6 5 \cdot 1 8 , 7 5} = 10, 1

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 , 5 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2} = 14, 737 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 7 , 5 ^{2} - 1 2 , 5 ^{2}}{2} = 11, 924 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 5 ^{2} - 1 7 , 5 ^{2}}{2} = 5, 449

Vypočítat další trojúhelník