Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7,5
b = 8,5
c = 11,34

Obsah trojúhelníku: S = 31,87549910398
Obvod trojúhelníku: o = 27,34
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,67

Úhel ∠ A = α = 41,40548589186° = 41°24'17″ = 0,72326511145 rad
Úhel ∠ B = β = 48,55221804772° = 48°33'8″ = 0,84773954083 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,04329606042° = 90°2'35″ = 1,57215461308 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8.54999976106
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7.54999978917
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,62216915414

Těžnice: t_a = 9,29330242655
Těžnice: t_b = 8,62332418498
Těžnice: t_c = 5,66657832645

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,33217476986
Poloměr opsané kružnice: R = 5,67700015939

Souřadnice vrcholů: A[11,34; 0] B[0; 0] C[4,96545326279; 5,62216915414]
Těžiště: T[5,43548442093; 1,87438971805]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,67; -0,00442513894]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,17; 2,33217476986]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,59551410814° = 138°35'43″ = 0,72326511145 rad
∠ B' = β' = 131,44878195228° = 131°26'52″ = 0,84773954083 rad
∠ C' = γ' = 89,95770393958° = 89°57'25″ = 1,57215461308 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7, 5 b = 8, 5 c = 11, 34

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7, 5 + 8, 5 + 11, 34 = 27, 34

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7 , 3 4}{2} = 13, 67

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 67 (13, 67 - 7, 5) (13, 67 - 8, 5) (13, 67 - 11, 34) S = 1016, 02 = 31, 87

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 7}{7 , 5} = 8, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 7}{8 , 5} = 7, 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 7}{1 1 , 3 4} = 5, 62

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 , 5 ^{2} + 1 1 , 3 4 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2 \cdot 8 , 5 \cdot 1 1 , 3 4}) = 41 ° 2 4^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 , 5 ^{2} + 1 1 , 3 4 ^{2} - 8 , 5 ^{2}}{2 \cdot 7 , 5 \cdot 1 1 , 3 4}) = 48 ° 3 3^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 2 4^{'} 17 " - 48 ° 3 3^{'} 8 " = 90 ° 2^{'} 35 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 8 7}{1 3 , 6 7} = 2, 33

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 , 5 \cdot 8 , 5 \cdot 1 1 , 3 4}{4 \cdot 2 , 3 3 2 \cdot 1 3 , 6 7} = 5, 67

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 5 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 3 4 ^{2} - 7 , 5 ^{2}}{2} = 9, 293 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 3 4 ^{2} + 2 \cdot 7 , 5 ^{2} - 8 , 5 ^{2}}{2} = 8, 623 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 5 ^{2} - 1 1 , 3 4 ^{2}}{2} = 5, 666

Vypočítat další trojúhelník