Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 76
b = 43,82
c = 44

Obsah trojúhelníku: S = 836,0743737948
Obvod trojúhelníku: o = 163,82
Semiperimeter (poloobvod): s = 81,91

Úhel ∠ A = α = 119,85881730703° = 119°51'29″ = 2,09219197555 rad
Úhel ∠ B = β = 30,00329177841° = 30°11″ = 0,52436497005 rad
Úhel ∠ C = γ = 30,13989091455° = 30°8'20″ = 0,52660231975 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 22,00219404723
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 38,1599458601
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 38,00333517249

Těžnice: t_a = 22,0022186255
Těžnice: t_b = 58,10329422663
Těžnice: t_c = 58,00108293044

Poloměr vepsané kružnice: r = 10,20772242455
Poloměr opsané kružnice: R = 43,81661352728

Souřadnice vrcholů: A[44; 0] B[0; 0] C[65,81659954545; 38,00333517249]
Těžiště: T[36,60553318182; 12,66877839083]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[22; 37,89326603744]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[38,09; 10,20772242455]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 60,14218269297° = 60°8'31″ = 2,09219197555 rad
∠ B' = β' = 149,99770822159° = 149°59'49″ = 0,52436497005 rad
∠ C' = γ' = 149,86110908545° = 149°51'40″ = 0,52660231975 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 76 b = 43, 82 c = 44

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 76 + 43, 82 + 44 = 163, 82

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 3 , 8 2}{2} = 81, 91

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 81, 91 (81, 91 - 76) (81, 91 - 43, 82) (81, 91 - 44) S = 699019, 3 = 836, 07

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 3 6 , 0 7}{7 6} = 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 3 6 , 0 7}{4 3 , 8 2} = 38, 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 3 6 , 0 7}{4 4} = 38

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 3 , 8 2 ^{2} + 4 4 ^{2} - 7 6 ^{2}}{2 \cdot 4 3 , 8 2 \cdot 4 4}) = 119 ° 5 1^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 6 ^{2} + 4 4 ^{2} - 4 3 , 8 2 ^{2}}{2 \cdot 7 6 \cdot 4 4}) = 30 ° 11 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 119 ° 5 1^{'} 29 " - 30 ° 11 " = 30 ° 8^{'} 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 3 6 , 0 7}{8 1 , 9 1} = 10, 21

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 6 \cdot 4 3 , 8 2 \cdot 4 4}{4 \cdot 1 0 , 2 0 7 \cdot 8 1 , 9 1} = 43, 82

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 3 , 8 2 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 7 6 ^{2}}{2} = 22, 002 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 7 6 ^{2} - 4 3 , 8 2 ^{2}}{2} = 58, 103 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 6 ^{2} + 2 \cdot 4 3 , 8 2 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 58, 001

Vypočítat další trojúhelník