Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 12
c = 14,42

Obsah trojúhelníku: S = 487,9999973666
Obvod trojúhelníku: o = 34,42
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,21

Úhel ∠ A = α = 33,69659067301° = 33°41'45″ = 0,58881045169 rad
Úhel ∠ B = β = 56,32330724972° = 56°19'23″ = 0,98330230599 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,98110207727° = 89°58'52″ = 1,57704650768 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 121,9999993416
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 87,9999995611
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,65774198844

Těžnice: t_a = 12,64878535728
Těžnice: t_b = 9,99884098736
Těžnice: t_c = 7,21222049333

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,78990759655
Poloměr opsané kružnice: R = 7,21100003956

Souřadnice vrcholů: A[14,42; 0] B[0; 0] C[4,4366074896; 6,65774198844]
Těžiště: T[6,28553582987; 2,21991399615]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,21; 0,00223883126]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,21; 2,78990759655]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,30440932699° = 146°18'15″ = 0,58881045169 rad
∠ B' = β' = 123,67769275028° = 123°40'37″ = 0,98330230599 rad
∠ C' = γ' = 90,01989792273° = 90°1'8″ = 1,57704650768 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 12 c = 14, 42

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 12 + 14, 42 = 34, 42

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4 , 4 2}{2} = 17, 21

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 21 (17, 21 - 8) (17, 21 - 12) (17, 21 - 14, 42) S = 2304 = 48

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 8}{8} = 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 8}{1 2} = 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 8}{1 4 , 4 2} = 6, 66

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 4 , 4 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 4 , 4 2}) = 33 ° 4 1^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 4 , 4 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 4 , 4 2}) = 56 ° 1 9^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 4 1^{'} 45 " - 56 ° 1 9^{'} 23 " = 89 ° 5 8^{'} 52 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 8}{1 7 , 2 1} = 2, 79

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 2 \cdot 1 4 , 4 2}{4 \cdot 2 , 7 8 9 \cdot 1 7 , 2 1} = 7, 21

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 , 4 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 12, 648 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 , 4 2 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 9, 998 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 , 4 2 ^{2}}{2} = 7, 212

Vypočítat další trojúhelník