Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 6,5
c = 5

Obsah trojúhelníku: S = 16,23296747888
Obvod trojúhelníku: o = 19,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,75

Úhel ∠ A = α = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,521077547 rad
Úhel ∠ B = β = 54,24111511095° = 54°14'28″ = 0,94766866769 rad
Úhel ∠ C = γ = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 0,67441305067 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 4,05774186972
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,99437460889
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,49218699155

Těžnice: t_a = 4,19882139059
Těžnice: t_b = 5,82655900989
Těžnice: t_c = 6,84765319688

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,66545820296
Poloměr opsané kružnice: R = 4,00550093946

Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[4,675; 6,49218699155]
Těžiště: T[3,225; 2,16439566385]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; 3,12989135895]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,25; 1,66545820296]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,521077547 rad
∠ B' = β' = 125,75988488905° = 125°45'32″ = 0,94766866769 rad
∠ C' = γ' = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 0,67441305067 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 6, 5 c = 5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 6, 5 + 5 = 19, 5

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 , 5}{2} = 9, 75

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 75 (9, 75 - 8) (9, 75 - 6, 5) (9, 75 - 5) S = 263, 4 = 16, 23

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 3}{8} = 4, 06 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 3}{6 , 5} = 4, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 3}{5} = 6, 49

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 , 5 ^{2} + 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 6 , 5 \cdot 5}) = 87 ° 8^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 5 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 5}) = 54 ° 1 4^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 87 ° 8^{'} 2 " - 54 ° 1 4^{'} 28 " = 38 ° 3 7^{'} 29 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 , 2 3}{9 , 7 5} = 1, 66

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 6 , 5 \cdot 5}{4 \cdot 1 , 6 6 5 \cdot 9 , 7 5} = 4, 01

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 4, 198 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 6 , 5 ^{2}}{2} = 5, 826 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 6 , 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 6, 847

Vypočítat další trojúhelník