Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 8
c = 11,31
Obsah trojúhelníku: S = 321,9999931258
Obvod trojúhelníku: o = 27,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,655
Úhel ∠ A = α = 45,01987777978° = 45°1'8″ = 0,78657258978 rad
Úhel ∠ B = β = 45,01987777978° = 45°1'8″ = 0,78657258978 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,96224444043° = 89°57'45″ = 1,5770140858 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 87,9999982814
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 87,9999982814
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,65987078914
Těžnice: ta = 8,94219265262
Těžnice: tb = 8,94219265262
Těžnice: tc = 5,65987078914
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,34334634292
Poloměr opsané kružnice: R = 5,65550012148
Souřadnice vrcholů: A[11,31; 0] B[0; 0] C[5,655; 5,65987078914]
Těžiště: T[5,655; 1,88662359638]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,655; 0,00437066766]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,655; 2,34334634292]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,98112222022° = 134°58'52″ = 0,78657258978 rad
∠ B' = β' = 134,98112222022° = 134°58'52″ = 0,78657258978 rad
∠ C' = γ' = 90,03875555957° = 90°2'15″ = 1,5770140858 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=8 c=11,31
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+8+11,31=27,31
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227,31=13,66
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,66(13,66−8)(13,66−8)(13,66−11,31) S=1024=32
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 32=8 vb=b2 S=82⋅ 32=8 vc=c2 S=11,312⋅ 32=5,66
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 11,3182+11,312−82)=45°1′8" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 11,3182+11,312−82)=45°1′8" γ=180°−α−β=180°−45°1′8"−45°1′8"=89°57′45"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,6632=2,34
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,343⋅ 13,6558⋅ 8⋅ 11,31=5,66
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 11,312−82=8,942 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 11,312+2⋅ 82−82=8,942 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 82−11,312=5,659
Vypočítat další trojúhelník