Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8,25
b = 15,62
c = 12,65

Obsah trojúhelníku: S = 52,03296398127
Obvod trojúhelníku: o = 36,52
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,26

Úhel ∠ A = α = 31,77883385043° = 31°46'42″ = 0,55546366377 rad
Úhel ∠ B = β = 94,36986755408° = 94°22'7″ = 1,64770440989 rad
Úhel ∠ C = γ = 53,85329859549° = 53°51'11″ = 0,94399119169 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,61332460152
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,66219257123
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,22660300099

Těžnice: t_a = 13,60110229395
Těžnice: t_b = 7,28332959572
Těžnice: t_c = 10,77111570873

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,84993778649
Poloměr opsané kružnice: R = 7,83327577121

Souřadnice vrcholů: A[12,65; 0] B[0; 0] C[-0,62884347826; 8,22660300099]
Těžiště: T[4,00771884058; 2,74220100033]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,325; 4,62202238448]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,64; 2,84993778649]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,22216614957° = 148°13'18″ = 0,55546366377 rad
∠ B' = β' = 85,63113244592° = 85°37'53″ = 1,64770440989 rad
∠ C' = γ' = 126,14770140451° = 126°8'49″ = 0,94399119169 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8, 25 b = 15, 62 c = 12, 65

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8, 25 + 15, 62 + 12, 65 = 36, 52

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6 , 5 2}{2} = 18, 26

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 26 (18, 26 - 8, 25) (18, 26 - 15, 62) (18, 26 - 12, 65) S = 2707, 08 = 52, 03

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 2 , 0 3}{8 , 2 5} = 12, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 2 , 0 3}{1 5 , 6 2} = 6, 66 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 2 , 0 3}{1 2 , 6 5} = 8, 23

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 , 6 2 ^{2} + 1 2 , 6 5 ^{2} - 8 , 2 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 , 6 2 \cdot 1 2 , 6 5}) = 31 ° 4 6^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 , 2 5 ^{2} + 1 2 , 6 5 ^{2} - 1 5 , 6 2 ^{2}}{2 \cdot 8 , 2 5 \cdot 1 2 , 6 5}) = 94 ° 2 2^{'} 7 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 4 6^{'} 42 " - 94 ° 2 2^{'} 7 " = 53 ° 5 1^{'} 11 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 2 , 0 3}{1 8 , 2 6} = 2, 85

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 , 2 5 \cdot 1 5 , 6 2 \cdot 1 2 , 6 5}{4 \cdot 2 , 8 4 9 \cdot 1 8 , 2 6} = 7, 83

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 , 6 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 , 6 5 ^{2} - 8 , 2 5 ^{2}}{2} = 13, 601 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 , 6 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 2 5 ^{2} - 1 5 , 6 2 ^{2}}{2} = 7, 283 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 , 6 2 ^{2} - 1 2 , 6 5 ^{2}}{2} = 10, 771

Vypočítat další trojúhelník