Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 80
b = 50
c = 50
Obsah trojúhelníku: S = 1200
Obvod trojúhelníku: o = 180
Semiperimeter (poloobvod): s = 90
Úhel ∠ A = α = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,8554590436 rad
Úhel ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Úhel ∠ C = γ = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 30
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 48
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 48
Těžnice: ta = 30
Těžnice: tb = 61,84765843843
Těžnice: tc = 61,84765843843
Poloměr vepsané kružnice: r = 13,33333333333
Poloměr opsané kružnice: R = 41,66766666667
Souřadnice vrcholů: A[50; 0] B[0; 0] C[64; 48]
Těžiště: T[38; 16]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[25; 33,33333333333]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[40; 13,33333333333]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,8554590436 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=80 b=50 c=50
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=80+50+50=180
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2180=90
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=90(90−80)(90−50)(90−50) S=1440000=1200
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=802⋅ 1200=30 vb=b2 S=502⋅ 1200=48 vc=c2 S=502⋅ 1200=48
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 50⋅ 50502+502−802)=106°15′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 80⋅ 50802+502−502)=36°52′12" γ=180°−α−β=180°−106°15′37"−36°52′12"=36°52′12"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=901200=13,33
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 13,333⋅ 9080⋅ 50⋅ 50=41,67
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 502+2⋅ 502−802=30 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 502+2⋅ 802−502=61,847 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 802+2⋅ 502−502=61,847
Vypočítat další trojúhelník