Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 10
c = 4

Obsah trojúhelníku: S = 17,98443682124
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Úhel ∠ A = α = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 1,1187979732 rad
Úhel ∠ B = β = 92,38880154633° = 92°23'17″ = 1,61224750592 rad
Úhel ∠ C = γ = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 3,99765262694
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,59768736425
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,99221841062

Těžnice: t_a = 6,14441028637
Těžnice: t_b = 4,84876798574
Těžnice: t_c = 9,30105376189

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,56438581054
Poloměr opsané kružnice: R = 5,00443459374

Souřadnice vrcholů: A[4; 0] B[0; 0] C[-0,375; 8,99221841062]
Těžiště: T[1,20883333333; 2,99773947021]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2; 4,58773171093]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,56438581054]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 1,1187979732 rad
∠ B' = β' = 87,61219845367° = 87°36'43″ = 1,61224750592 rad
∠ C' = γ' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 10 c = 4

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 10 + 4 = 23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 9) (11, 5 - 10) (11, 5 - 4) S = 323, 44 = 17, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 , 9 8}{9} = 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 , 9 8}{1 0} = 3, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 , 9 8}{4} = 8, 99

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 4}) = 64 ° 3^{'} 20 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 4}) = 92 ° 2 3^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 64 ° 3^{'} 20 " - 92 ° 2 3^{'} 17 " = 23 ° 3 3^{'} 23 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 , 9 8}{1 1 , 5} = 1, 56

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 0 \cdot 4}{4 \cdot 1 , 5 6 4 \cdot 1 1 , 5} = 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 6, 144 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 4, 848 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 9, 301

Vypočítat další trojúhelník