Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 15
c = 21
Obsah trojúhelníku: S = 58,45767147554
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Úhel ∠ A = α = 21,78767892983° = 21°47'12″ = 0,38802512067 rad
Úhel ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Úhel ∠ C = γ = 120° = 2,09443951024 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,99903810568
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,79442286341
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,56773061672
Těžnice: ta = 17,68547391838
Těžnice: tb = 14,30990880213
Těžnice: tc = 6,53883484153
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,59880762114
Poloměr opsané kružnice: R = 12,1244355653
Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[7,07114285714; 5,56773061672]
Těžiště: T[9,35771428571; 1,85657687224]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -6,06221778265]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 2,59880762114]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,21332107017° = 158°12'48″ = 0,38802512067 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 60° = 2,09443951024 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=15 c=21
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+15+21=45
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−9)(22,5−15)(22,5−21) S=3417,19=58,46
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 58,46=12,99 vb=b2 S=152⋅ 58,46=7,79 vc=c2 S=212⋅ 58,46=5,57
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 21152+212−92)=21°47′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2192+212−152)=38°12′48" γ=180°−α−β=180°−21°47′12"−38°12′48"=120°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=22,558,46=2,6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,598⋅ 22,59⋅ 15⋅ 21=12,12
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 212−92=17,685 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 92−152=14,309 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 152−212=6,538
Vypočítat další trojúhelník