Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Pravoúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 41
c = 40
Obsah trojúhelníku: S = 180
Obvod trojúhelníku: o = 90
Semiperimeter (poloobvod): s = 45
Úhel ∠ A = α = 12,68803834918° = 12°40'49″ = 0,22113144423 rad
Úhel ∠ B = β = 90° = 1,57107963268 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,32196165082° = 77°19'11″ = 1,34994818844 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 40
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,78804878049
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9
Těžnice: ta = 40,25223291252
Těžnice: tb = 20,5
Těžnice: tc = 21,93217121995
Poloměr vepsané kružnice: r = 4
Poloměr opsané kružnice: R = 20,5
Souřadnice vrcholů: A[40; 0] B[0; 0] C[-0; 9]
Těžiště: T[13,33333333333; 3]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[20; 4,5]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 4]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,32196165082° = 167°19'11″ = 0,22113144423 rad
∠ B' = β' = 90° = 1,57107963268 rad
∠ C' = γ' = 102,68803834918° = 102°40'49″ = 1,34994818844 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=41 c=40
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+41+40=90
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=290=45
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=45(45−9)(45−41)(45−40) S=32400=180
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 180=40 vb=b2 S=412⋅ 180=8,78 vc=c2 S=402⋅ 180=9
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 41⋅ 40412+402−92)=12°40′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 4092+402−412)=90° γ=180°−α−β=180°−12°40′49"−90°=77°19′11"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=45180=4
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4⋅ 459⋅ 41⋅ 40=20,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 412+2⋅ 402−92=40,252 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 402+2⋅ 92−412=20,5 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 412−402=21,932
Vypočítat další trojúhelník