Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 7
c = 14

Obsah trojúhelníku: S = 26,833281573
Obvod trojúhelníku: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Úhel ∠ A = α = 33,2033099198° = 33°12'11″ = 0,58795034029 rad
Úhel ∠ B = β = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Úhel ∠ C = γ = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 2,12221132959 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,963284794
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,667651878
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,833325939

Těžnice: t_a = 10,11218742081
Těžnice: t_b = 11,23661025271
Těžnice: t_c = 4

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,7898854382
Poloměr opsané kružnice: R = 8,21875498173

Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[8,14328571429; 3,833325939]
Těžiště: T[7,3810952381; 1,278775313]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -4,30444308567]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 1,7898854382]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,7976900802° = 146°47'49″ = 0,58795034029 rad
∠ B' = β' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ C' = γ' = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 2,12221132959 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 7 c = 14

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 7 + 14 = 30

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 9) (15 - 7) (15 - 14) S = 720 = 26, 83

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 3}{9} = 5, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 3}{7} = 7, 67 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 3}{1 4} = 3, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 4}) = 33 ° 1 2^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 4}) = 25 ° 1 2^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 1 2^{'} 11 " - 25 ° 1 2^{'} 32 " = 121 ° 3 5^{'} 17 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 , 8 3}{1 5} = 1, 79

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 1 4}{4 \cdot 1 , 7 8 9 \cdot 1 5} = 8, 22

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 10, 112 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 11, 236 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 4

Vypočítat další trojúhelník