Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 7,33
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 31,82218351773
Obvod trojúhelníku: o = 26,33
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,165

Úhel ∠ A = α = 60,25774001485° = 60°15'27″ = 1,05216900313 rad
Úhel ∠ B = β = 45,00436554438° = 45°13″ = 0,78554619629 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,73989444077° = 74°44'20″ = 1,30444406594 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 7,07215189283
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,68326289706
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,36443670355

Těžnice: t_a = 7,52442574384
Těžnice: t_b = 8,7798825377
Těžnice: t_c = 6,50987978921

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,41771542102
Poloměr opsané kružnice: R = 5,18327620589

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[6,3643555; 6,36443670355]
Těžiště: T[5,45545183333; 2,12114556785]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 1,36441930064]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,835; 2,41771542102]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 119,74325998515° = 119°44'33″ = 1,05216900313 rad
∠ B' = β' = 134,99663445562° = 134°59'47″ = 0,78554619629 rad
∠ C' = γ' = 105,26110555923° = 105°15'40″ = 1,30444406594 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 7, 33 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 7, 33 + 10 = 26, 33

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6 , 3 3}{2} = 13, 17

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 17 (13, 17 - 9) (13, 17 - 7, 33) (13, 17 - 10) S = 1012, 63 = 31, 82

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 2}{9} = 7, 07 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 2}{7 , 3 3} = 8, 68 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 8 2}{1 0} = 6, 36

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 3 3 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 , 3 3 \cdot 1 0}) = 60 ° 1 5^{'} 27 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 7 , 3 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 45 ° 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° 1 5^{'} 27 " - 45 ° 13 " = 74 ° 4 4^{'} 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 8 2}{1 3 , 1 7} = 2, 42

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 7 , 3 3 \cdot 1 0}{4 \cdot 2 , 4 1 7 \cdot 1 3 , 1 6 5} = 5, 18

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 3 3 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 7, 524 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 7 , 3 3 ^{2}}{2} = 8, 779 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 7 , 3 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 6, 509

Vypočítat další trojúhelník