Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9,63
b = 22
c = 22,43

Obsah trojúhelníku: S = 104,31883130423
Obvod trojúhelníku: o = 54,06
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,03

Úhel ∠ A = α = 25,01217125229° = 25°42″ = 0,43765367351 rad
Úhel ∠ B = β = 74,99656738676° = 74°59'44″ = 1,30989214337 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,99326136094° = 79°59'33″ = 1,39661344848 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 21,66552778904
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,48334830038
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,30216774893

Těžnice: t_a = 21,68879742023
Těžnice: t_b = 13,30111616034
Těžnice: t_c = 12,7511165633

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,85993530537
Poloměr opsané kružnice: R = 11,38882684195

Souřadnice vrcholů: A[22,43; 0] B[0; 0] C[2,4933129737; 9,30216774893]
Těžiště: T[8,30877099123; 3,10105591631]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,215; 1,97989978766]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,03; 3,85993530537]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,98882874771° = 154°59'18″ = 0,43765367351 rad
∠ B' = β' = 105,00443261324° = 105°16″ = 1,30989214337 rad
∠ C' = γ' = 100,00773863906° = 100°27″ = 1,39661344848 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9, 63 b = 22 c = 22, 43

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9, 63 + 22 + 22, 43 = 54, 06

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4 , 0 6}{2} = 27, 03

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 03 (27, 03 - 9, 63) (27, 03 - 22) (27, 03 - 22, 43) S = 10882, 31 = 104, 32

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 4 , 3 2}{9 , 6 3} = 21, 67 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 4 , 3 2}{2 2} = 9, 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 4 , 3 2}{2 2 , 4 3} = 9, 3

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 2 , 4 3 ^{2} - 9 , 6 3 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 2 , 4 3}) = 25 ° 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 , 6 3 ^{2} + 2 2 , 4 3 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 9 , 6 3 \cdot 2 2 , 4 3}) = 74 ° 5 9^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 42 " - 74 ° 5 9^{'} 44 " = 79 ° 5 9^{'} 33 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 4 , 3 2}{2 7 , 0 3} = 3, 86

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 , 6 3 \cdot 2 2 \cdot 2 2 , 4 3}{4 \cdot 3 , 8 5 9 \cdot 2 7 , 0 3} = 11, 39

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 2 , 4 3 ^{2} - 9 , 6 3 ^{2}}{2} = 21, 688 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 , 4 3 ^{2} + 2 \cdot 9 , 6 3 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 13, 301 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 6 3 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 2 , 4 3 ^{2}}{2} = 12, 751

Vypočítat další trojúhelník