Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 22
b = 26
c = 40

Obsah trojúhelníku: S = 264
Obvod trojúhelníku: o = 88
Semiperimeter (poloobvod): s = 44

Úhel ∠ A = α = 30,51102374061° = 30°30'37″ = 0,53325040983 rad
Úhel ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,96655874465 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 24
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 20,30876923077
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,2

Těžnice: t_a = 31,89904374382
Těžnice: t_b = 29,54765734054
Těžnice: t_c = 13,4166407865

Poloměr vepsané kružnice: r = 6
Poloměr opsané kružnice: R = 21,66766666667

Souřadnice vrcholů: A[40; 0] B[0; 0] C[17,6; 13,2]
Těžiště: T[19,2; 4,4]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[20; -8,33333333333]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[18; 6]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 149,49897625939° = 149°29'23″ = 0,53325040983 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,96655874465 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 22 b = 26 c = 40

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 22 + 26 + 40 = 88

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 8}{2} = 44

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 44 (44 - 22) (44 - 26) (44 - 40) S = 69696 = 264

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 4}{2 2} = 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 4}{2 6} = 20, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 4}{4 0} = 13, 2

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 4 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 4 0}) = 30 ° 3 0^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 4 0 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 4 0}) = 36 ° 5 2^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 3 0^{'} 37 " - 36 ° 5 2^{'} 12 " = 112 ° 3 7^{'} 11 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 4}{4 4} = 6

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 2 \cdot 2 6 \cdot 4 0}{4 \cdot 6 \cdot 4 4} = 21, 67

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 4 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 31, 89 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 29, 547 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2} = 13, 416

Vypočítat další trojúhelník