Pravděpodobnost - výrobky

Na základě předchozí kontroly je známo, že při výrobě určitého výrobku se vyskytují 3% zmetků.

a) Vypočítejte pravděpodobnost jevu, že mezi 100 náhodně vybranými výrobky jsou právě 2 zmetky, přičemž každý výrobek po kontrole vrátíme do původního souboru.
b) Jaká je pravděpodobnost jevu, že mezi 100 náhodně vybranými výrobky budou nejvýše 2 zmetky?

Správná odpověď:

p₁ =  0,2252
b =  0,4198

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} C_2(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)=\frac{100!}{2!(100-2)!}=\frac{100\cdot 99}{2\cdot 1}=4950 \\ n=100 \\ q=3\%=\frac{3}{100}=0,03 \\ {p}_1=p_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot q^2\cdot (1-q{)}^{n-2}=4950\cdot 0,03^2\cdot (1-0,03{)}^{100-2}=0,2252 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} C_0(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{0}\right)=\frac{100!}{0!(100-0)!}=\frac{1}{1}=1 \\ {C}_1(100)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{1}\right)=\frac{100!}{1!(100-1)!}=\frac{100}{1}=100 \\ {p}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\cdot q^0\cdot (1-q{)}^{n-0}=1\cdot 0,03^0\cdot (1-0,03{)}^{100-0}\doteq 0,0476 \\ {p}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\cdot q^1\cdot (1-q{)}^{n-1}=100\cdot 0,03^1\cdot (1-0,03{)}^{100-1}\doteq 0,1471 \\ b=p_0+p_1+p_2=0,0476+0,1471+0,2252=0,4198 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad