Koruny

Žáci čtyř ročníků uspořili dohromady n=45000 korun. Z toho první ročník uspořil jednu třetinu, druhý jednu třetinu zbytku, třetí dvě pětiny dalšího zbytku a čtvrtý zbývající část.
Kolik korun uspořil každý ročník ?

Správná odpověď:

a = 15000
b = 10000
c = 8000
d = 12000

Postup správného řešení:

n = 45000
a+b+c+d=n
a = 1/3 · n
b = (n - a)/3
c = 2/5 · (n - a - b)

n = 45000
a+b+c+d-n = 0
3a-n = 0
a+3b-n = 0
2a+2b+5c-2n = 0

Pivot: Řádek 1 ↔ Řádek 3
3a-n = 0
a+b+c+d-n = 0
n = 45000
a+3b-n = 0
2a+2b+5c-2n = 0

Řádek 2 - 1/3 · Řádek 1 → Řádek 2
3a-n = 0
b+c+d-0,66667n = 0
n = 45000
a+3b-n = 0
2a+2b+5c-2n = 0

Řádek 4 - 1/3 · Řádek 1 → Řádek 4
3a-n = 0
b+c+d-0,66667n = 0
n = 45000
3b-0,66667n = 0
2a+2b+5c-2n = 0

Řádek 5 - 2/3 · Řádek 1 → Řádek 5
3a-n = 0
b+c+d-0,66667n = 0
n = 45000
3b-0,66667n = 0
2b+5c-1,33333n = 0

Pivot: Řádek 2 ↔ Řádek 4
3a-n = 0
3b-0,66667n = 0
n = 45000
b+c+d-0,66667n = 0
2b+5c-1,33333n = 0

Řádek 4 - 1/3 · Řádek 2 → Řádek 4
3a-n = 0
3b-0,66667n = 0
n = 45000
c+d-0,44444n = 0
2b+5c-1,33333n = 0

Řádek 5 - 2/3 · Řádek 2 → Řádek 5
3a-n = 0
3b-0,66667n = 0
n = 45000
c+d-0,44444n = 0
5c-0,88889n = 0

Pivot: Řádek 3 ↔ Řádek 5
3a-n = 0
3b-0,66667n = 0
5c-0,88889n = 0
c+d-0,44444n = 0
n = 45000

Řádek 4 - 1/5 · Řádek 3 → Řádek 4
3a-n = 0
3b-0,66667n = 0
5c-0,88889n = 0
d-0,26667n = 0
n = 45000

n = 45000/1 = 45000
d = 0+0,26666666666667n = 0+0,26666667 · 45000 = 12000
c = 0+0,88888888888889n/5 = 0+0,88888889 · 45000/5 = 8000
b = 0+0,66666666666667n/3 = 0+0,66666667 · 45000/3 = 10000
a = 0+n/3 = 0+45000/3 = 15000

a = 15000
b = 10000
c = 8000
d = 12000
n = 45000

Vypočtené naším kalkulátorem soustavy lineárních rovnic.