Pan Horák a Skalák

Trasa ze Zlína do Liberce přes Olomouc a Hradec Králové měří s = 300 km.
a) Pan Horák vyjel ze Zlína v čase tH = 16:00 h s nákladním automobilem průměrnou rychlostí vH = 40 km/h.
V čase tN = 17:30 h za ním vyjel pan Novák osobním automobilem s průměrnou rychlostí vN = 55 km/h. Jak daleko od Zlína se setkali? Poblíž kterého většího města to bylo?
c) Současně s panem Horákem vyjel v čase 16:00 h opačným směrem po trase z Liberce do Zlína pan Skalák a se svým vozem se pohyboval průměrnou rychlostí 50 km/h. Kdy a jak daleko od Liberce se potkal s panem Horákem?
d) Nakreslete do jednoho grafu pohyb všech tří automobilů v závislosti na čase a z grafu odečtěte časy i místa setkání z částí a) a d). Kdo dojede do cíle nejdříve?

Správná odpověď:

a =  161,0526 km
b =  166,6667 km

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} s=300\text{km} \\ {t}_1=16,00\text{h} \\ {v}_1=40\text{km/h} \\ {t}_2=17,50\text{h} \\ {t}_{11}=t_2-t_1=17,5-16=\frac{3}{2}=1,5\text{h} \\ {v}_2=55\text{km/h} \\ {s}_1+s_2=s \\ {v}_1\cdot t+v_2\cdot (t-t_{11})=s=300 \\ t=(s+v_2\cdot t_{11})/(v_1+v_2)=(300+55\cdot 1,5)/(40+55)=\frac{153}{38}\doteq 4,0263\text{h} \\ {s}_1=v_1\cdot t=40\cdot 4,0263=\frac{3060}{19}\doteq 161,0526\text{km} \\ {s}_2=s-s_1=300-161,0526=\frac{2640}{19}\doteq 138,9474\text{km} \\ a=s_1=161,0526=161,0526\text{km} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} v_3=50\text{km/h} \\ {s}_3+s_4=s \\ {v}_1\cdot t_3+v_3\cdot t_3=s \\ {t}_3=s/(v_1+v_3)=300/(40+50)=\frac{10}{3}\doteq 3,3333\text{h} \\ {s}_3=v_1\cdot t_3=40\cdot 3,3333=\frac{400}{3}\doteq 133,3333\text{km} \\ {s}_4=v_3\cdot t_3=50\cdot 3,3333=\frac{500}{3}\doteq 166,6667\text{km} \\ b=s_4=166,6667=166,6667\text{km} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad