Každoročně rast

Aktuální cena domu je 300 000 USD, přičemž ceny se každoročně zvyšují o 3%. Kupující chce koupit dům za 5 let. Na poskytnutí úvěru banka požaduje složit 10% zálohu z ceny domu. Kolik by musel kupující vložit každé čtvrtletí z běžné anuity s 8% ročním úrokem složeným čtvrtletně, aby mohl mít částku potřebnou na vklad za 5 let?

Správná odpověď:

x =  1431,36 USD

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=300000\text{USD} \\ q=100\%+3\%=1+\frac{3}{100}=1,03 \\ b=a\cdot q^5=300000\cdot 1,03^5\doteq 347782,2223\text{USD} \\ {q}_1=10\%=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0,1 \\ d=q_1\cdot b=0,1\cdot 347782,2223\doteq 34778,2222\text{USD} \\ p=8\%=\frac{8}{100}=\frac{2}{25}=0,08 \\ r=1+p/4=1+0,08/4=\frac{51}{50}=1,02 \\ {r}_1=1 \\ {r}_2=r_1\cdot r+1=1\cdot 1,02+1=\frac{101}{50}=2,02 \\ {r}_3=r_2\cdot r+1=2,02\cdot 1,02+1=3,0604 \\ {r}_4=r_3\cdot r+1=3,0604\cdot 1,02+1\doteq 4,1216 \\ {r}_5=r_4\cdot r+1=4,1216\cdot 1,02+1\doteq 5,204 \\ {r}_6=r_5\cdot r+1=5,204\cdot 1,02+1\doteq 6,3081 \\ {r}_7=r_6\cdot r+1=6,3081\cdot 1,02+1\doteq 7,4343 \\ {r}_8=r_7\cdot r+1=7,4343\cdot 1,02+1\doteq 8,583 \\ {r}_9=r_8\cdot r+1=8,583\cdot 1,02+1\doteq 9,7546 \\ {r}_{10}=r_9\cdot r+1=9,7546\cdot 1,02+1\doteq 10,9497 \\ {r}_{11}=r_{10}\cdot r+1=10,9497\cdot 1,02+1\doteq 12,1687 \\ {r}_{12}=r_{11}\cdot r+1=12,1687\cdot 1,02+1\doteq 13,4121 \\ {r}_{13}=r_{12}\cdot r+1=13,4121\cdot 1,02+1\doteq 14,6803 \\ {r}_{14}=r_{13}\cdot r+1=14,6803\cdot 1,02+1\doteq 15,9739 \\ {r}_{15}=r_{14}\cdot r+1=15,9739\cdot 1,02+1\doteq 17,2934 \\ {r}_{16}=r_{15}\cdot r+1=17,2934\cdot 1,02+1\doteq 18,6393 \\ {r}_{17}=r_{16}\cdot r+1=18,6393\cdot 1,02+1\doteq 20,0121 \\ {r}_{18}=r_{17}\cdot r+1=20,0121\cdot 1,02+1\doteq 21,4123 \\ {r}_{19}=r_{18}\cdot r+1=21,4123\cdot 1,02+1\doteq 22,8406 \\ {r}_{20}=r_{19}\cdot r+1=22,8406\cdot 1,02+1\doteq 24,2974 \\ x\cdot r_{20}=d \\ x=d/r_{20}=34778,2222/24,2974=1431,36\text{USD} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad