Trojúhelník 10 10 11

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 10
c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 45,93440559933
Obvod trojúhelníku: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Úhel ∠ A = α = 56,63329870308° = 56°37'59″ = 0,98884320889 rad
Úhel ∠ B = β = 56,63329870308° = 56°37'59″ = 0,98884320889 rad
Úhel ∠ C = γ = 66,73440259385° = 66°44'3″ = 1,16547284757 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,18768111987
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,18768111987
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,35216465442

Těžnice: t_a = 9,24766210045
Těžnice: t_b = 9,24766210045
Těžnice: t_c = 8,35216465442

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,96334874834
Poloměr opsané kružnice: R = 5,98768434009

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[5,5; 8,35216465442]
Těžiště: T[5,5; 2,78438821814]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 2,36548031434]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,96334874834]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 123,36770129692° = 123°22'1″ = 0,98884320889 rad
∠ B' = β' = 123,36770129692° = 123°22'1″ = 0,98884320889 rad
∠ C' = γ' = 113,26659740615° = 113°15'57″ = 1,16547284757 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 10 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 10 + 11 = 31

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 10) (15, 5 - 10) (15, 5 - 11) S = 2109, 94 = 45, 93

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 5 , 9 3}{1 0} = 9, 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 5 , 9 3}{1 0} = 9, 19 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 5 , 9 3}{1 1} = 8, 35

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 56 ° 3 7^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 56 ° 3 7^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 56 ° 3 7^{'} 59 " - 56 ° 3 7^{'} 59 " = 66 ° 4 4^{'} 3 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 5 , 9 3}{1 5 , 5} = 2, 96

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 2 , 9 6 3 \cdot 1 5 , 5} = 5, 99

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 9, 247 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 9, 247 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 8, 352

Vypočítat další trojúhelník