Trojúhelník 10 10 15
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 10
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 49,60878370825
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Úhel ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,6966124158 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,92215674165
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,92215674165
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,61443782777
Těžnice: ta = 11,72660393996
Těžnice: tb = 11,72660393996
Těžnice: tc = 6,61443782777
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,83547335476
Poloměr opsané kružnice: R = 7,55992894602
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 6,61443782777]
Těžiště: T[7,5; 2,20547927592]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; -0,94549111825]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 2,83547335476]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,6966124158 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=10 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+10+15=35
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−10)(17,5−10)(17,5−15) S=2460,94=49,61
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 49,61=9,92 vb=b2 S=102⋅ 49,61=9,92 vc=c2 S=152⋅ 49,61=6,61
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 15102+152−102)=41°24′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 15102+152−102)=41°24′35" γ=180°−α−β=180°−41°24′35"−41°24′35"=97°10′51"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,549,61=2,83
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,835⋅ 17,510⋅ 10⋅ 15=7,56
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 152−102=11,726 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 102−102=11,726 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−152=6,614
Vypočítat další trojúhelník