Trojúhelník 10 11 12

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 11
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 51,52112334868
Obvod trojúhelníku: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Úhel ∠ A = α = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ B = β = 59,17695025682° = 59°10'10″ = 1,03327026366 rad
Úhel ∠ C = γ = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,21332252231 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,30442466974
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,36774969976
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,58768722478

Těžnice: t_a = 10,36882206767
Těžnice: t_b = 9,57986220303
Těžnice: t_c = 8,63113382508

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,12224989992
Poloměr opsané kružnice: R = 6,40551261522

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[5,125; 8,58768722478]
Těžiště: T[5,70883333333; 2,86222907493]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 2,24217941533]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 3,12224989992]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ B' = β' = 120,83304974318° = 120°49'50″ = 1,03327026366 rad
∠ C' = γ' = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,21332252231 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 11 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 11 + 12 = 33

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 10) (16, 5 - 11) (16, 5 - 12) S = 2654, 44 = 51, 52

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 2}{1 0} = 10, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 2}{1 1} = 9, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 2}{1 2} = 8, 59

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 51 ° 1 9^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 59 ° 1 0^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 51 ° 1 9^{'} 4 " - 59 ° 1 0^{'} 10 " = 69 ° 3 0^{'} 46 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 1 , 5 2}{1 6 , 5} = 3, 12

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 1 \cdot 1 2}{4 \cdot 3 , 1 2 2 \cdot 1 6 , 5} = 6, 41

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 10, 368 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 9, 579 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 8, 631

Vypočítat další trojúhelník