Trojúhelník 10 11 20

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 11
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 31,97655766172
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Úhel ∠ A = α = 16,89990937835° = 16°53'57″ = 0,29549448271 rad
Úhel ∠ B = β = 18,64881553056° = 18°38'53″ = 0,32554717095 rad
Úhel ∠ C = γ = 144,45327509109° = 144°27'10″ = 2,5211176117 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,39551153234
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,81437412031
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,19875576617

Těžnice: t_a = 15,34660092532
Těžnice: t_b = 14,82439670804
Těžnice: t_c = 3,24403703492

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,56597842252
Poloměr opsané kružnice: R = 17,20106280476

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[9,475; 3,19875576617]
Těžiště: T[9,825; 1,06658525539]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -13,99550564569]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 1,56597842252]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,10109062165° = 163°6'3″ = 0,29549448271 rad
∠ B' = β' = 161,35218446944° = 161°21'7″ = 0,32554717095 rad
∠ C' = γ' = 35,54772490891° = 35°32'50″ = 2,5211176117 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 11 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 11 + 20 = 41

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 10) (20, 5 - 11) (20, 5 - 20) S = 1022, 44 = 31, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 9 8}{1 0} = 6, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 9 8}{1 1} = 5, 81 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 9 8}{2 0} = 3, 2

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 0}) = 16 ° 5 3^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}) = 18 ° 3 8^{'} 53 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 5 3^{'} 57 " - 18 ° 3 8^{'} 53 " = 144 ° 2 7^{'} 10 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 9 8}{2 0 , 5} = 1, 56

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 1 \cdot 2 0}{4 \cdot 1 , 5 6 \cdot 2 0 , 5} = 17, 2

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 15, 346 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 14, 824 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 3, 24

Vypočítat další trojúhelník