Trojúhelník 10 12 12
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 12
c = 12
Obsah trojúhelníku: S = 54,54435605732
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17
Úhel ∠ A = α = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 0,86595508626 rad
Úhel ∠ B = β = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 1,14110208955 rad
Úhel ∠ C = γ = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 1,14110208955 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,90987121146
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,09105934289
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,09105934289
Těžnice: ta = 10,90987121146
Těžnice: tb = 9,27436184955
Těžnice: tc = 9,27436184955
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,20884447396
Poloměr opsané kružnice: R = 6.66002291786
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[4,16766666667; 9,09105934289]
Těžiště: T[5,38988888889; 3,03301978096]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 2,75500954911]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 3,20884447396]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 0,86595508626 rad
∠ B' = β' = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 1,14110208955 rad
∠ C' = γ' = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 1,14110208955 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=12 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+12+12=34
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=234=17
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17(17−10)(17−12)(17−12) S=2975=54,54
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 54,54=10,91 vb=b2 S=122⋅ 54,54=9,09 vc=c2 S=122⋅ 54,54=9,09
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 12122+122−102)=49°14′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 12102+122−122)=65°22′32" γ=180°−α−β=180°−49°14′55"−65°22′32"=65°22′32"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1754,54=3,21
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,208⋅ 1710⋅ 12⋅ 12=6,6
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 122−102=10,909 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 102−122=9,274 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 122−122=9,274
Vypočítat další trojúhelník