Trojúhelník 10 12 14
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 12
c = 14
Obsah trojúhelníku: S = 58,78877538268
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Úhel ∠ A = α = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Úhel ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,75875507654
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,79879589711
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,39882505467
Těžnice: ta = 12,04215945788
Těžnice: tb = 10,58330052443
Těžnice: tc = 8,54440037453
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,26659863237
Poloměr opsané kružnice: R = 7,14443450831
Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[5,42985714286; 8,39882505467]
Těžiště: T[6,47661904762; 2,79994168489]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; 1,42988690166]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,26659863237]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=12 c=14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+12+14=36
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−10)(18−12)(18−14) S=3456=58,79
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 58,79=11,76 vb=b2 S=122⋅ 58,79=9,8 vc=c2 S=142⋅ 58,79=8,4
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 14122+142−102)=44°24′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 14102+142−122)=57°7′18" γ=180°−α−β=180°−44°24′55"−57°7′18"=78°27′47"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1858,79=3,27
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,266⋅ 1810⋅ 12⋅ 14=7,14
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 142−102=12,042 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 102−122=10,583 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 122−142=8,544
Vypočítat další trojúhelník