Trojúhelník 10 12 15
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 12
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 59,81216836412
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Úhel ∠ A = α = 41,65496722739° = 41°38'59″ = 0,72769239136 rad
Úhel ∠ B = β = 52,89109950542° = 52°53'28″ = 0,92331220084 rad
Úhel ∠ C = γ = 85,45993326719° = 85°27'34″ = 1,49215467317 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,96223367282
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,96986139402
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,97548911522
Těžnice: ta = 12,62993309403
Těžnice: tb = 11,24772218792
Těžnice: tc = 8,10986373701
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,23330639806
Poloměr opsané kružnice: R = 7,52436136588
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[6,03333333333; 7,97548911522]
Těžiště: T[7,01111111111; 2,65882970507]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 0,59656194147]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,23330639806]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,35503277261° = 138°21'1″ = 0,72769239136 rad
∠ B' = β' = 127,10990049458° = 127°6'32″ = 0,92331220084 rad
∠ C' = γ' = 94,54106673281° = 94°32'26″ = 1,49215467317 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=12 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+12+15=37
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−10)(18,5−12)(18,5−15) S=3577,44=59,81
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 59,81=11,96 vb=b2 S=122⋅ 59,81=9,97 vc=c2 S=152⋅ 59,81=7,97
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−102)=41°38′59" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 15102+152−122)=52°53′28" γ=180°−α−β=180°−41°38′59"−52°53′28"=85°27′34"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=18,559,81=3,23
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,233⋅ 18,510⋅ 12⋅ 15=7,52
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 152−102=12,629 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 102−122=11,247 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 122−152=8,109
Vypočítat další trojúhelník