Trojúhelník 10 12 16
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 12
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 59,92549530663
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Úhel ∠ A = α = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 0,67441305067 rad
Úhel ∠ B = β = 48,50991831443° = 48°30'33″ = 0,84766449633 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,62108171836 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,98549906133
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,98774921777
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,49106191333
Těžnice: ta = 13,22987565553
Těžnice: tb = 11,91663752878
Těžnice: tc = 7,61657731059
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,15439448982
Poloměr opsané kružnice: R = 8,01100187891
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[6,625; 7,49106191333]
Těžiště: T[7,54216666667; 2,49768730444]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; -0,40105009395]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,15439448982]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 0,67441305067 rad
∠ B' = β' = 131,49108168557° = 131°29'27″ = 0,84766449633 rad
∠ C' = γ' = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,62108171836 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=12 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+12+16=38
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−10)(19−12)(19−16) S=3591=59,92
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 59,92=11,98 vb=b2 S=122⋅ 59,92=9,99 vc=c2 S=162⋅ 59,92=7,49
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 16122+162−102)=38°37′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 16102+162−122)=48°30′33" γ=180°−α−β=180°−38°37′29"−48°30′33"=92°51′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1959,92=3,15
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,154⋅ 1910⋅ 12⋅ 16=8,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 162−102=13,229 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 102−122=11,916 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 122−162=7,616
Vypočítat další trojúhelník