Trojúhelník 10 12 17
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 12
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 58,93658761706
Obvod trojúhelníku: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Úhel ∠ A = α = 35,2966144734° = 35°17'46″ = 0,61660339389 rad
Úhel ∠ B = β = 43,89769323912° = 43°53'49″ = 0,76661460018 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,80769228749° = 100°48'25″ = 1,7599412713 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,78771752341
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,82326460284
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,93436324907
Těžnice: ta = 13,83883525031
Těžnice: tb = 12,5989678312
Těžnice: tc = 7,05333679898
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,02223526241
Poloměr opsané kružnice: R = 8,65334727765
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[7,20658823529; 6,93436324907]
Těžiště: T[8,0698627451; 2,31112108302]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -1,62325261456]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 3,02223526241]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,7043855266° = 144°42'14″ = 0,61660339389 rad
∠ B' = β' = 136,10330676088° = 136°6'11″ = 0,76661460018 rad
∠ C' = γ' = 79,19330771251° = 79°11'35″ = 1,7599412713 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=12 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+12+17=39
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−10)(19,5−12)(19,5−17) S=3473,44=58,94
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 58,94=11,79 vb=b2 S=122⋅ 58,94=9,82 vc=c2 S=172⋅ 58,94=6,93
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 17122+172−102)=35°17′46" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 17102+172−122)=43°53′49" γ=180°−α−β=180°−35°17′46"−43°53′49"=100°48′25"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=19,558,94=3,02
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,022⋅ 19,510⋅ 12⋅ 17=8,65
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 172−102=13,838 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 102−122=12,59 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 122−172=7,053
Vypočítat další trojúhelník